Don Pepe Navarro ha quedado en los anales de la historia ceheginera como, posiblemente, uno de los alcaldes más populares que ha tenido este municipio. Nacido el 15 de septiembre de 1861, fue un rico hacendado, hijo de don José Navarro Gómez y doña Magdalena de Cuenca y Fernández- Piñero Rubio. Descendiente por vía materna de los Cuenca y Fernández-Piñero, familia importante en la sociedad ceheginera desde el siglo XVIII, estuvo casado con doña Irene de Cuenca en primeras nupcias y luego con doña María Manuela López Sandoval, en segundas.

Obtuvo el título de Bachiller. Fue elegido como alcalde del entonces Ilustrísimo Ayuntamiento de Cehegín, el día 31 de julio del año 1898 y se mantuvo en el cargo hasta el día 16 de abril de 1903, fecha en que habría de ser sustituido por don Miguel de la Ossa. Su mandato, que duró cinco años, demuestra la energía y buen hacer de este personaje por la intensa actividad que demostró para regir el Consistorio, y aun más en un momento económica y socialmente complicado y también complejo.

Construyó, a sus expensas la Plaza de Toros, obra suya, y que hoy en día lleva su nombre. Es de resaltar la importancia de la recuperación de la feria de ganado que, con él, volvió al esplendor que había tenido en otros tiempos.

Un hecho trascendental de su alcaldía para el posterior desarrollo de la entonces villa fue el proyecto de alumbrado eléctrico, que comenzaría su funcionamiento en el año 1901, dejando ya de lado en poco tiempo los faroles de aceite que se instalaron en el año 1865 de la mano del entonces Alcalde don Juan Chico Chico.
Don José Navarro de Cuenca falleció en Cehegín el día 11 de julio del año 1929 después de haber tenido una elevadísima prole, que superó los 20 hijos, concretamente fueron 24 vástagos los que tuvo.